Bilangan Cacah

Himpunan Bilangan cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli jika ditambah 0 maka akan terbentuk humpunan baru yaitu himpunan bilangan cacah. Jadi bilangan cacah adalah :

C = {0,1,2,3,4,5,. . . }

Nol dapat dikatakan sebagai bilangan cardinal dari suatu himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali, jadi n(

A.      Definisi-definisi dan sifat-sifat bilangan cacah

Karena himpunan bilangan asli adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan cacah, maka emua definisi-definisi dan sifat-sifat pada bilangan asli juga berlaku pada bilangan cacah.

Sifat-sifat bilangan asli yang berlaku juga pada bilangan cacah adalah :

1.       Sifat Perkalian.

2.       Sifat tertutup.

3.       Sifat komutatif.

4.       Sifat assosiatif.

5.       Sifat distributive.

6.       Sifat-sifat persamaan : a. refleksif

                                         b.simetris

                                            c.Transitif

                                            d.Addiktif

                                            e.Multiplikatif

                                            f.Substraktif

                                            g.Pembagian

                                            h.Penghapusan

                                             i.Identitas Perkalian

Ada beberapa sifat-sifat yang perlu ditambahkan selain sifat-sifat diatas yaitu :

1.       Sifat Identitas Penjumlahan

Apabila a bilangan cacah, maka a + 0 = 0 + a = a

0 disebut elemen netral atau elemen identitas penjumlahan.

2.       Sifat Perkalian dengan 0

Apabila a bilangan cacah, maka a x 0 = 0 x a = 0.

3.       Apabila a bilangan cacah, maka a

4.       Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

Apabila a, b dan c bilangan cacah, dan b lebih besar atau sama dengan c (b ≥ c), maka a(b – c) = ab – ac.

5.       Sifat asosiatif Persamaan

a.       Apabila a, b dan c bilangan cacah, dan bmaka :

          (a + b) – c = a + (b – c)

b.      Apabila a, b, c, dan d bilangan cacah a,maka :

          (a + b) – (c + d) = (a – c) + (b – d)

B.      Sifat bilangan 0 dalam Pembagian

Definisi Pembagian dalam bilangan asli, juga berlaku dalam bilangan cacah.

Apabila a dan b bilangan cacah, b = 0, maka terdapat bilangan cacah lainnya q dan r, sehingga : a = bq + r dimana 0 ≤ r < b.

Contoh :

1.       Misalkan a = 48

                  b = 6

Maka 48 = 6 . 7 + 6, dimana q = 7 dan r = 6

C.      Sifat Pembagian dengan nol

Bilangan nol memegang peranan khusus dalam operasi pembagian. Seperti halnya dengan bilangan cacah lainnya, apabila  0 dibagi dengan bilangan cacah lainnya yang bukan nol, akan menghasilkan suatu bilangan cacah.Jika suatu bilangan asli dibagi dengan nol ,maka penyelesaiannya adalah :

1.       Misalkan a : 0 = c, c adalah suatu bilangan asli sembarang, maka c x 0 = a

Menurut sifat perkalian dengan 0, maka c x 0 = 0, jadi a = 0. Dan tidak mungkin c x 0 = a

Kesimpulan : a : 0 tidak didefinisikan(unidentified), karena tidak ada satupun bilangan cacah yang apabila dikalikan dengan 0 akan menghasilkan bilangan cacah yang bukan 0.

2.       Misalkan 0 : 0 = a, a bilangan cacah.

Maka a x 0 = 0, a akan dipenuhi oleh setiap bilangan cacah, karena setiap bilangan cacah apabila dikalikan dengan 0 akan menghasilkan 0. Jadi hasil bagi 0 dengan 0 tidak tunggal, sedangkan hasil bagi dua bilangan harus tunggal.

Kesimpulan : Hasil bagi 0 dengan 0 adalah tidak tentu atau tidak dedefinisikan, karena hasilnya bukan merupakan hasil yang tunggal.

D.      Operasi Pemangkatan

Misalkan a adalah suatu bilangan cacah, apabila kita menuliskan  maka yang dimaksud adalah a x a. Sama halnya dengan :

a³ = a . a .a

                      3 faktor a

Apabila a dan n adalah bilangan cacah ( a  0 ), maka aⁿ adalah hasil yang diperoleh dari a sebagai factor dikalikan n kali.

n disebut bilangan eksponen, sedangkan a disebut bilangan dasar.

aⁿ dibaca “ a pangkat n “

Contoh :

E.       Sifat-sifat Pemangkatan

4³ dibaca : 4 pangkat 3, dimana bilangan dasarnya adalah 4 dan bilangan eksponennya adalah 3.

1.       Sifat Pembagian

Apabila a bilangan cacah, a  0, maka a^m : aⁿ = a^m-n

Contoh:

1)      p⁶ : p² = p^6-2

            = p⁴

2)      x⁹ : x⁶ = x^9-6

           = x³

2.       Sifat Perkalian

Apabila a bilangan cacah, a  0, maka a^m . aⁿ = a^m+n

Contoh :

1)      z⁸ . z² = z⁸⁺²

           =z¹⁰

2)      b² . b⁴ = b²⁺⁴

                   =b⁶

3.       Sifat distributive pemangkatan terhadap perkalian

Apabila a, b dan c bilangan cacah, maka (a x b)^c = a^c x b^c

                Contoh :

                                (y x z)⁶ = y⁶ x z⁶

4.       Sifat distributuf Pemangkatan pada pembagian

Apabila a, b dan c bilangan cacah, maka ( a : b )^c = a^c : b^c.

Contoh :

                ( p : q )⁷ = p⁷ : q⁷

5.       Sifat Pemangkatan Berganda

Apabila a, b dan c bilangan cacah, maka (a^b)^c = a^bxc.

Contoh :

                ( m⁴ )³ = m^4x3 = m¹²

F.       Sifat-sifat bilangan nol dalam pemangkatan

1)      Apabila a bilangan cacah, a 0, maka 0^a = 0

Bukti :

Menurut definisi : 0^a = 0 x 0 x 0 x0 x 0….x 0

                                                        a factor

Hasil perkalian ini adalah 0. Jadi a⁰ = 0

2)      Apabila a bilangan asli, a  0, maka a⁰ = 1

Bukti :

Perhatikan a^b : a^b, karena pembagi sama dengan yang dibagai, maka hasilnya adalah 1.

a^b : a^b = a^b-b =a⁰ =1

3)      Apabila a bilangan asli, a  0, maka a¹ = a

Bukti :

Perhatikan a^b+1 dan a^b

a^b+1 : a^b = (a^b . a ) : a^b

                       =( a^b : a^b ) . a

               = a^b-b .a

               =1. a

               = a